Skaitļu teorija: LV
- Skaitļu teorijas olimpiādes (no 2010.g.)
- LV.NO - novadu olimpiāde (2.posms)
- LV.VO - valsts olimpiāde (3.posms)
LV.AO - atklātā olimpiāde
Dots, ka \(a,b,c,d\) – naturāli skaitļi un \(ab=cd\). Pierādīt, ka skaitli \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\) var izsacīt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu. Vai to noteikti var izsacīt kā divu naturālu skaitļu kvadrātu summu?
Kvadrātu atdalīšana
Pieskaitīt \(2ab\) un atņemt tam vienādo \(2cd\), atdalīt kvadrātus. \(1+1+1+1 \neq x^2 + y^2\), \(x, y \in \mathbb{N}\).
Atrast mazāko naturālo skaitli, kam visi cipari ir vienādi un kas dalās ar \(49\)?
ABC
#PeriodiskaVirkne #DalījumsPirmreizinātājos Atlikumi \(1,11,111,\ldots,111111\) ar \(7\): \(1,4,6,5,2,0\). \(777777\) der.
Vai naturālos skaitļus
- no \(1\) līdz \(12\) ieskaitot,
- no \(1\) līdz \(50\) ieskaitot
var tā sadalīt pa pāriem, lai visas pāros ieejošo skaitļu summas būtu dažādas un katra no tām būtu pirmskaitlis? (Piemēram, skaitļus no 1 līdz 6 varētu sadalīt tā: \(1+2=3\), \(3+4 = 7\), \(5+6=11\)).
ABC
#Pirmskaitļi #SummasPārkārtošana #DirihlēPrincips \((1,4)\), \((2,5)\), \((3,8)\), \((6,7)\), \((9,10)\), \((11,12)\). Bet \((1,100)\) ir tikai \(24\) pirmskaitļi \(>2\).
Uz katras no vairākām kartītēm uzrakstīts pa naturālam skaitlim (starp tiem var būt arī vienādi); uz visām kartītēm uzrakstīto skaitļu summa ir \(100\). Vai noteikti var atrast tādas kartītes (varbūt vienu pašu), uz kurām uzrakstīto skaitļu summa ir \(50\), ja kartīšu skaits ir
- \(50\),
- \(51\)?
ABC
#Indukcija #Nevienādība (a) \(49 \times\) “1” un \(1 \times\) “51”. (b) Noņem \(2 \times\) “1” un induktīvais pieņēmums. #DirihlēPrincips #Interpretācija (b) Intervālus pa apli regulāra \(100\)-stūra virsotnēs; \(\geq 2\) punkti pretī viens otram.
Vai skaitli
(a) skaitli 2,
(b) skaitli
var izsacīt kā četriem dažādiem naturālu skaitļu kvadrātiem apgriezto lielumu summu?
Apskatām pirmos \(n\) naturālos skaitļus. No tiem jāizvēlas divus tā, lai to reizinājums būtu vienāds ar visu pārējo skaitļu summu. Vai tas ir iespējams, ja
(a) \(n=10\),
(b) \(n=15\)?
Divu pirmskaitļu starpība ir \(100\). Uzrakstot pirmo galā otrajam, atkal iegūst pirmskaitli. Atrast šos pirmskaitļus un pierādīt, ka citu bez Jūsu atrastajiem nav.
Dots, ka \(x^2+y^2+z^2 = t^2\), kur \(x,y,z,t\) – naturāli skaitļi. Cik no skaitļiem \(x,y,z,t\) var būt pāra skaitļi?
Funkcijas \(f(x)\) argumenti un vērtības ir naturāli skaitļi. Katram naturālam \(x\) izpildās vienādība \[f(f(x))+f(x) = 2x.\] Atrast visa šādas funkcijas \(f(x)\) un pierādīt, ka citu bez atrastajām nav.
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \[\left( 2a+b \right) \cdot \left( 2b + a \right) = 2^c.\]
Naturālu skaitļu virkni sauc par \(F\)-virkni, ja tā ir augoša, bezgalīga un katrs tās loceklis, sākot ar trešo, vienāds ar abu iepriekšējo locekļu summu. Vai eksistē
(a) galīgs daudzums,
(b) bezgalīgs daudzums
\(F\)-virkņu ar īpašību: katrs naturāls skaitlis pieder tieši vienai no tām.
Naturālu skaitli sauc par simetrisku, ja tā pēdējais cipars nav \(0\) un, uzrakstot tā ciparus apgrieztā secībā, skaitlis nemainās. Piemēram, \(1221\) ir simetrisks skaitlis, bet \(1231\) - nav.
(a) pierādiet: ja simetrisks sešciparu skaitlis dalās ar \(13\), tad tas dalās arī ar \(7\),
(b) vai taisnība, ka katrs simetrisks sešciparu skaitlis, kas dalās ar \(7\), dalās arī ar \(13\)?
Ciparu algebra
- \(13\) dala \(\overline{abcabc}=1001\cdot{}\overline{abc}\) un arī \(\overline{abccba}\) (tas ir dots), atņemot abus skaitļus, iegūstam \(13 \mid 99|a-c|\) un \(a=c\).
- \(108801\) ir pretpiemērs.
Cits risinājums
- \(\overline{abccba}\) izsaka \(100001a + 10010b + 1100c = 13\cdot (\ldots ) + 5(a-c)\). Tad \(a-c\) dalās ar \(13\) un \(a=c\); aizstāj \(c\) un dala ar \(7\).
Andrim vajadzēja sareizināt divus dažādus pozitīvus trīsciparu skaitļus. Izklaidības pēc viņš tos vienkārši uzrakstīja vienu otram galā. Iegūtais sešciparu skaitlis izrādījās \(3\) reizes lielāks par reizinājumu, kuru Andrim vajadzēja iegūt. Kādu sešciparu skaitli Andris uzrakstīja?
Dala reizinātājos
- Apzīmē \(a\) un \(b\) - abi trīsciparu skaitļi
- Ja \(1000a+b=3ab\), tad \(b/a=3b-1000\).
- Veseli trīsciparu skaitļi \(a,b\) rodas tikai tad, ja \(b=334\).
Dots, ka \(x,y,z\) - naturāli skaitļi un katrs no skaitļiem \(xy-z\), \(xz-y\) un \(yz-x\) dalās ar \(3\). Pierādiet, ka \(x^2+y^2+z^2\) dalās ar \(3\).
Kāds ir mazākais pirmskaitlis \(p\), kuram nevar atrast tādus nenegatīvus veselus skaitļus \(x\) un \(y\), ka \({\displaystyle p = \left| 2^x - 3^y \right|}\)?
Skaitļu virknes elementi ir naturāli skaitļi. Pirmo elementu izvēlas patvaļīgi, bet katrs nākošais elements ir vienāds ar iepriekšējā elementa naturālo dalītāju skaitu. (Piemēram, ja virknes pirmais elements ir \(14\), tad virkne ir \(14, 4, 3, 2, 2, 2, \ldots\)). Kāds var būt virknes pirmais elements, ja neviens tās elements nav naturāla skaitļa kvadrāts?
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \((2a+b)(2b+a)=2c\).
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(8\) ieskaitot. Nedrīkst rakstīt skaitļus, ar kuriem dalās kaut viens jau uzrakstīts skaitlis. Kas nevar izdarīt gājienu, zaudē. Parādiet, kā tas, kas izdara pirmo gājienu, var uzvarēt.
Pierādījums no pretējā
Ja skaitļiem \(\{ 2,3,\ldots,7,8\}\) uzvar 1.sp., atkārto viņa stratēģiju. Ja uzvar 2.spēlētājs, sāk ar gājienu “\(1\)”.
Konstruktīva stratēģija
Sāk ar \(2\), tad uz katru \((5; 7)\), \((6; 8)\) un \((4; 3)\) atbild ar otru sk. no pārīša.
Kādu lielāko daudzumu dažādu naturālu skaitļu, kas nepārsniedz \(100\), var izvēlēties tā, lai nekādu divu izvēlēto skaitļu starpība nebūtu ne \(3\), ne \(4\), ne \(7\)?
ABC
#DirihlēPrincips #GadījumuPārlase Ja \(>30\), tad no \(10\) sk., jāizvēlas \(4\). No \(\{1,4,8\}\), \(\{2,5,9\}\), \(\{2,6,10\}\), \(\{7\}\) jāņem pa \(1\) – neiespējami. #Simetrija Lai izvēlētos \(4\) no ABCABCXABC, jāņem arī \(X\), bet līdzīgi arī ABCYABCABC un \(X\),\(Y\) starpība ir \(3\).
Andrim vajadzēja sareizināt divus dažādus divciparu skaitļus. Izklaidības pēc viņš tos vienkārši uzrakstīja vienu otram galā. Iegūtais četrciparu skaitlis izrādījās \(3\) reizes lielāks par reizinājumu, kuru Andrim vajadzēja iegūt. Kādu četrciparu skaitli Andris uzrakstīja?
ABC
#AlgebrisksPārveidojums #Nevienādība Ja \(100a+b=3ab\), tad \(b/a=3b-100\). Veseli 2cip. \(a,b\), tikai ja \(b=34\).
Par Fibonači skaitļiem sauc skaitļus \(1; 2; 3; 5; 8; \ldots\) (katru nākošo iegūst, saskaitot divus iepriekšējos). Vai var pastāvēt vienādība \(a+b=c+d\), ja \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ir dažādi Fibonači skaitļi?
ABC
#Nevienādība Ja \(d\) ir lielākais, tad \(a+b=d\), kur \(a\),\(b\) ir tieši pirms \(d\). Bet \(c>0\), t.i. \(a+b<c+d\).
Dots, ka \(x, y, z\) naturāli skaitļi un katrs no skaitļiem \(xy-z\), \(xz-y\) un \(yz-x\) dalās ar \(3\). Pierādīt, ka \(x^2+y^2+z^2\) dalās ar \(3\).
Katrs naturāls skaitlis nokrāsots vienā krāsā. Ir zināms: ja divu naturālu skaitļu starpība ir pirmskaitlis, tad tie ir nokrāsoti dažādās krāsās. Kāds ir mazākais iespējamais krāsu skaits?
Zināms, ka naturāls skaitlis \(n\) dalās ar pirmskaitli \(p\) un \(p>\sqrt{n}\). Pierādīt, ka ne \(n-1\), \(n^3-1\) nav divu tādu naturālu skaitļu reizinājums, kuru starpība ir \(2\).
Skaitļu virkni \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) veido sekojoši \(a_1=0\); \(a_2=1\); pie \(n>2\) skaitli \(a_n\) iegūst, pierakstot skaitlim \(a_{n-1}\) pa labi galā skaitli \(a_{n-2}\). (Piemēram, \(a_3=10\); \(a_4=101\), \(a_5=10110\) utt.) Kādiem \(n\) skaitlis \(a_n\) dalās ar \(11\)?
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles pa vienam naturālam skaitlim no \(1\) līdz \(9\) ieskaitot. Nedrīkst rakstīt skaitļus, ar kuriem dalās kaut viens jau uzrakstīts skaitlis. Kas nevar izdarīt gājienu, zaudē. Parādiet, kā tas, kas izdara pirmo gājienu, var uzvarēt.
No pretējā
Ja skaitļiem \(\{ 2,3,\ldots,8,9\}\) uzvar 1.spēlētājs, atkārto viņa stratēģiju. Ja uzvar 2.spēlētājs, sāk ar gājienu “1”.
Konstruktīva stratēģija
Sāk ar \(2\), tad katrā grupā \((5;7)\), \((3;8)\) un \((4;6;9)\) uzvar izolēti.
Uz tāfeles pa reizei uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(n\) ieskaitot. Ar vienu gājienu var izvēlēties divus uz tāfeles uzrakstītus skaitļus (apzīmēsim tos ar \(a\) un \(b\)), nodzēst tos un to vietā uzrakstīt \(\left| a^2-b^2 \right|\). Pēc \(n-1\) gājiena uz tāfeles paliek viens skaitlis.
Vai tas var būt \(0\), ja (a) \(n=8\), (b) \(n=9\)?
ABC
#Invariants #ProgresijasSumma Ar \(n=8\) var: veido \(9\), \(32\), \(32\) utt. Ja \(n=9\), tad \(1+2+\ldots+9=45\), bet summas paritāte nemainās.
Kādā lielākajā daudzumā dažādu naturālu saskaitāmo, kas visi lielāki par \(1\), var sadalīt skaitli \(56\) tā, lai katru divu saskaitāmo lielākais kopīgais dalītājs būtu \(1\)?
ABC
#EkstrēmaisElements #Nevienādība \(3,5,7,11,13,17\) der, bet 7 saskaitāmos nevar, jo pat mazāko pirmsk. summa \(>56\).
Uz katras no divām lapām jāuzraksta pa \(n\) veseliem pozitīviem skaitļiem. Visiem \(2n\) uzrakstītajiem skaitļiem jābūt dažādiem. Pie tam uz lapām uzrakstīto skaitļu summām jābūt vienādām savā starpā, un uzrakstīto skaitļu kvadrātu summām arī jābūt vienādām savā starpā.
Vai tas iespējams, ja (a) \(n=3\), (b) \(n=4\), (c) \(n=2003\)?
ABC
#Konstrukcija #Simetrija (a) \((1,5,6)\), \((2,3,7)\). (b) \((1,4,6,7)\), \((2,3,5,8)\). (c) \(2003\) veido “(b)” pieskaitot \(k_i\).
Noskaidrot, kādiem dažādiem pirmskaitļiem \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) pastāv īpašība: \(p_1p_2p_3\ldots{}p_n\) dalās ar \((p_1-1)(p_2-1)\ldots(p_n-1)\).
Dots, ka \(n\) - vesels pozitīvs skaitlis un skaitļi \(2n+1\) un \(3n+1\) ir veselu skaitļu kvadrāti.
(a)atrodiet kaut vienu tādu \(n\),
(b)vai \(5n+3\) var būt pirmskaitlis?
Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka \(6^n-1\) dalās ar \(4^n-1\)?
Vai eksistē tāds vesels pozitīvs skaitlis \(n\), ka skaitlim \(n^2\) ir tikpat daudz naturālu dalītāju, kas dod atlikumu \(1\), dalot ar \(3\), cik naturālu dalītāju, kas dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\)?
Kādam mazākajam naturālajam \(n\) visas daļas \[\frac{5}{n+7}, \frac{6}{n+8}, \frac{7}{n+9}, \ldots, \frac{35}{n+37}, \frac{36}{n+38}\] ir nesaīsināmas?
Eiklīda algoritms
- Visas daļas izskatās šādi: \(\frac{k}{n+(k+2)}\).
- Vajag, lai \(\mbox{LKD}(k,n+(k+2))=1\).
- \(\mbox{LKD}(k,n+(k+2))=\mbox{LKD}(k,n+2)=1\), \(k=5,\ldots,36\).
\(n+2=37\) ir savstarpējs pirmskaitlis ar visiem \(k\), t.i. \(n=35\).
Dots, ka \(A\) un \(B\) – naturāli divciparu skaitļi. Skaitli \(X\) iegūst, pierakstot skaitlim \(A\) galā skaitli \(B\); skaitli \(Y\) iegūst, pierakstot skaitlim \(B\) galā skaitli \(A\). Dots, ka \(X-Y\) dalās ar \(91\). Pierādīt, ka \(A=B\).
ABC
#AlgebrisksPārveidojums #Dalāmība \((100A+B)-(100B+A) = 99(A-B)\) un \(A-B\) dalās ar \(91\). Divciparu skaitļiem tas nozīmē \(A=B\).
Virknē augošā kārtībā izrakstīti naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2004\) ieskaitot, katrs vienu reizi. Izsvītrojam no tās skaitļus, kas atrodas \(1., 4., 7., 10., \ldots\) vietās. No palikušās virknes atkal izsvītrojam skaitļus, kas tajā atrodas \(1., 4., 7., \ldots\) vietās. Ar iegūto virkni rīkojamies tāpat, utt., kamēr paliek neizsvītrots viens skaitlis. Kurš tas ir?
ABC
#KonstrukcijaNoBeigām #RekurentaVirkne Pirms pēdējās izsvītrošanas pēdējais skaitlis bija #2, pirms tam #3, #5, #8, #12, utt. #GadījumuPārlase Pēc \(n\) svītrošanām pirmais palikušais ir \(x_n\). Pamato \(x_{n+1} = \left\lceil 3x_n/2 \right\rceil\) pāru un nepāru \(x_n\).
Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) rūtiņām. Katrā rūtiņā jāieraksta viens no skaitļiem \(-1; 0; 1\) tā, lai \(n\) rindās un \(n\) kolonnās ierakstīto skaitļu summas visas būtu dažādas. Vai to var izdarīt, ja (a) \(n=4\); (b) \(n=5\)?
Dots, ka \(n\) – naturāls skaitlis.
(a) pierādīt, ka \(n^2 + 11 n + 30\) nav naturāls skaitlis,
(b) atrast šī skaitļa pirmo ciparu aiz komata atkarībā no \(n\).
Vai, izmantojot tikai \(3\) dažādus ciparus, var uzrakstīt \(16\) trīsciparu skaitļus, kas visi dod dažādus atlikumus, dalot ar \(16\)?
Vai eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka \(2004^n-1\) dalās ar \(1500^n-1\)?
Dots, ka \(n\) – naturāls skaitlis, \(n>1\). Vai izteiksmi \[\left( x^n + x^{n-1} + \ldots + x + 1 \right)^2 - x^n\] noteikti var izsacīt kā divu polinomu reizinājumu tā, lai neviens no šiem polinomiem nebūtu konstante un visi abu polinomu koeficienti būtu veseli skaitļi?
Funkcijai \(f(n)\) gan argumenti, gan vērtības ir naturāli skaitļi, un katriem diviem naturāliem skaitļiem \(x\) un \(y\) pastāv vienādība \[xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2).\] Atrast visas šādas funkcijas \(f\) un pierādīt, ka citu bez jūsu atrastajām nav.
Ar \(n\) apzīmējam patvaļīgu nepāra naturālu skaitli, kas lielāks par \(1\). Pierādīt: abi skaitļi \(n\) un \(n+2\) vienlaicīgi ir pirmskaitļi tad un tikai tad, ja \((n-1)!\) nedalās ne ar \(n\), ne ar \(n+2\).
Triju veselu pozitīvu skaitļu summa ir \(407\). Ar kādu lielāko daudzumu nuļļu var beigties šo skaitļu reizinājums?
ABC
#DalīšanaArAtlikumu #DalījumsPirmreizinātājos #GadījumuPārlase
- \(407 = 250+125+32\), tad \(p = 1000000\).
- Divi saskaitāmie nevar beigties ar “5”, jo atlikušajam tad jābeidzas ar “7”. Tātad vismaz viens saskaitāmais beigsies ar nulli.
- Vairāk kā sešus \(5\)-pirmreizinātājus nevar iegūt (\(125=5^3\) un \(250=5^3\cdot{}2\) ir optimāli).
Kā var sadalīt naturālos skaitļus no 1 līdz 9 ieskaitot divās daļās tā, lai vienas daļas visu skaitļu summa būtu vienāda ar otras daļas visu skaitļu reizinājumu?
ABC
#DalījumsPirmreizinātājos #GadījumuPārlase #ProgresijasSumma Ja \(a,b,c\) ir reizināti, tad var \(abc=32\) un \(a+b+c=45-32=13\). \((a,b,c)=(1,4,8)\).
Atrast mazāko naturālo skaitli, kas dalās ar \(225\) un kura decimālajā pierakstā neizmanto nevienu no cipariem \(3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\).
Kādiem naturāliem skaitļiem \(n\) abi skaitļi \(2^n-1\) un \(2^n+1\) ir pirmskaitļi?
Funkcijas \(f(t)\) definīcijas apgabals un vērtību apgabals ir kopa \(\{ 1; 2; \ldots; n\}\), pie tam visas vērtības ir dažādas. Vai iespējams, ka visi skaitļi \(f(x)-x\), \(x=1; 2; \ldots; n\), ir dažādi, ja
(a) \(n=15\), (b) \(n=16\)?
Dots, ka \(a < b \leq c < d\) ir pozitīvi veseli skaitļi, \(ad=bc\) un \(d - a \leq 1\). Pierādīt, ka \(a\) ir vesela skaitļa kvadrāts.
Vai eksistē tāds vesels pozitīvs skaitlis \(n\), ka skaitlim \(n^2\) ir tikpat daudz naturālu dalītāju, kas dod atlikumu \(1\), dalot ar \(3\), cik naturālu dalītāju, kas dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\)?
Divi spēlētāji spēlē sekojošu spēli, izdarot gājienus pēc kārtas. Sākumā doti divi stieņi: viens ar garumu \(n\), otrs ar garumu \(n+1\) (\(n\) – pozitīvs vesels skaitlis). Ar vienu gājienu var vai nu salauzt vienu stieni divos īsākos, kuru garumi ir pozitīvi veseli skaitļi, vai arī izslēgt no turpmākās spēles gaitas \(k\) stieņus, katram no kuriem garums ir \(k\) (\(k\) – jebkurš vesels pozitīvs skaitlis). Spēlētājs, kurš izdara pēdējo gājienu, uzvar. Kurš spēlētājs uzvar, pareizi spēlējot?
Vilcienā Rīga-Mehiko vietas numurētas ar naturāliem skaitļiem, sākot ar \(1\) (numerācija ir vienota visam vilcienam, t.i., ir tikai viena vieta ar numuru \(1\), viena vieta ar numuru \(2\) utt; numuri piešķirti virzienā no lokomotīves uz vilciena “asti”). Visos vagonos ir vienāds vietu skaits. Vietas ar numuriem \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā, bet vietas ar numuriem \(630\) un \(652\) – dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram. Cik vietu ir katrā vagonā?
Progresijas diference
- Vietu skaits \(k \leq 22\) (jo \(1996\) un \(2015\) ir vienā vagonā)
- Vietu skaits \(k \geq 21\) (jo \(630\) un \(652\) – dažādos vagonos, kas pie tam nav blakus viens otram).
- \(1995\) vai \(1994\) jādalās ar \(k\), jo ar šo vietu beidzas kārtējais vagons.
Naturāla skaitļa \(x\) ciparu summu apzīmēsim ar \(S(x)\). Pieņemsim, ka \(n\) – tāds naturāls skaitlis, kam vienlaicīgi izpildās īpašības \(S(n)=10\) un \(S(5n)=5\).
(a) atrodiet kaut vienu tādu skaitli,
(b) vai tādu skaitļu ir bezgalīgi daudz?
(c) vai kāds no tādiem skaitļiem ir nepāra?
Mēģinājumi un kļūdas
Uzminēts piemērs (pāru cipari divreiz samazinās, ja reizina ar \(5\)).
- \(22222\) der
- Var \(22222\) vidū iespraust \(0\) (arī \(64\cdot 10^k\) der).
- Ja \(n\) nepāra, \(5n\) beigtos ar \(5\), nav iespējams, jo \(n \neq 1\).
Kāda ir lielākā iespējamā ciparu summa septiņciparu naturālam skaitlim, kas dalās ar \(8\)?
Apskatām naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(100\) ieskaitot. Kādu lielāko daudzumu no tiem var izvēlēties tā, lai nekādi divi izvēlētie skaitļi nedalītos viens ar otru un katriem diviem izvēlētajiem skaitļiem lielākais kopīgais dalītājs būtu lielāks par \(1\)?
Ir dots, ka, sareizinot visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(33\) ieskaitot, iegūst \[86833176188xy8864955181944012zt000000,\] kur \(x, y, z, t\) ir cipari. Noskaidrojiet \(x\), \(y\), \(z\) un \(t\) vērtības.
Dots, ka \(a<b \leq c < d\) ir pozitīvi veseli skaitļi, \(ad = bc\) un \(\sqrt{d}-\sqrt{a} \leq 1\). Pierādīt, ka \(a\) ir vesela skaitļa kvadrāts.
Vai eksistē tāds vesels pozitīvs skaitlis \(n\), ka skaitlim \(n^2\) ir tikpat daudz naturālu dalītāju, kas dod atlikumu \(1\), dalot ar \(3\), cik naturālu dalītāju, kas dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\)?
Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?
Cikls grafā
Iespējamie pāri \((1,3)\), \((1,7)\), \((3,7)\), \((7,9)\). \(4\)-cikla nav, jo \(9\) tikai viens kaimiņš. \(3\)-cikls \(1-3-7-1\).
Uz tāfeles sākumā uzrakstīti \(6\) divciparu naturāli skaitļi. Andris ar savu gājienu var pieskaitīt dažiem skaitļiem \(1\), bet pārējiem skaitļiem \(2\). (Var arī pieskaitīt visiem skaitļiem \(1\) vai visiem skaitļiem \(2\).) Pēc tam Maija ar savu gājienu var nodzēst jebkuru skaitli, kas dalās ar \(7\) vai kam ciparu summa dalās ar \(7\). Pēc tam gājienu izdara Andris, pēc tam – Maija, utt. Pierādīt, ka Maija var panākt, lai skaitļu uz tāfeles vairs nebūtu (pieņemsim, ka tiek spēlēts pietiekoši ilgi).
Bezgalīgi daudzi “dzēšami pāri”
Pārīšiem \((105;106)\), \((160;161)\), \((167;168)\), \((175;176)\) utt. Andris nevar tikt pāri.
Juliata iedomājās naturālu skaitli, sareizināja visus tā ciparus un iegūto rezultātu pareizināja ar iedomāto skaitli. Gala rezultātā Juliata ieguva \(1716\). Kādu skaitli viņa iedomājās sākumā?
Dalījums pirmreizinātājos
- \(1716=2^2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13\).
- Bet skaitļi \(11\) un \(13\) nav cipari.
- Visas atbildes ir formā \(11 \cdot 13 \cdot k\).
Kvadrātveida tabula sastāv no \(10 \times 10\) rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts nenulles cipars. No katras rindiņas un katras kolonnas cipariem, ņemot tos patvaļīgā secībā, izveidots viens desmitciparu naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka tieši \(19\) no šiem skaitļiem (ne vairāk un ne mazāk) dalās ar \(3\)?
- katrs no naturāliem skaitļiem \(a\) un \(b\) ir izsakāms kā divu veselu skaitļu kvadrātu summa. Pierādiet, ka arī reizinājums ir izsakāms šādā veidā.
- atrodiet divus tādus polinomus ar veseliem koeficientiem \(f(x)\) un \(g(x)\), ka visiem \(x\) pastāv vienādība \[\left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 =\] \[= \left( x^2+1 \right)\left( x^2 + 4 \right) \left(x^2 + 2x + 2 \right)\left( x^2 - 2x + 2 \right).\]
Desmitciparu naturāls skaitlis dalās ar \(999\,999\). Vai tas var dalīties arī ar \(1\,000\,001\)?
Kādu lielāko daudzumu dažādu ciparu var izrakstīt pa apli tā, lai katri divi blakus uzrakstīti cipari, lasot tos vienalga kādā virzienā, veidotu pirmskaitļa pierakstu?
Dots, ka \(x\) un \(y\) – tādi naturāli skaitļi, ka \(x \cdot y = 10^{12}\). Vai var būt, ka ne \(x\), ne \(y\) nesatur savā pierakstā nevienu ciparu \(0\)?
Izmantojam 10^12 dalījumu pirmreizinātājos
Nē. \(x\) vai \(y = 2^{12} = 4096\). (Vai arī sareizināsies \(2\) un \(5\).)
Dots, ka \(n>1\) – naturāls skaitlis, kas nav pirmskaitlis. Pierādīt, ka var atrast vismaz trīs dažādus naturālus skaitļus \(a_1,a_2,\ldots,a_k\), kas apmierina sakarību \[a_1 + a_2 + \ldots + a_k = n \cdot \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_k} \right).\]
Dalītājus sadala pārīšos
- Sadala pa pāriem \(a_1a_k = a_2a_{k-1} = \ldots = n\) (un \(k \geq 3\)).
- Tad \(a_1 + \ldots + a_k = a_k + \ldots + a_1\).
\[1+3+9 = 9 \cdot \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} \right). \]
Kvadrātveida tabula sastāv no \(12 \times 12\) rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts nenulles cipars. No katras rindiņas un katras kolonnas cipariem, ņemot tos patvaļīgā secībā, izveidots viens divpadsmitciparu naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka tieši \(23\) no šiem skaitļiem (ne vairāk un ne mazāk) dalās ar \(3\)?
Naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2008\) ieskaitot jāsadala grupās tā, lai izpildītos sakarība: ja \(a\) dalās ar \(b\) un \(b\) dalās ar \(c\) (\(a\), \(b\), \(c\) – dažādi naturāli skaitļi), tad \(a\), \(b\) un \(c\) visi nepieder vienai un tai pašai grupai. Kāds ir mazākais iespējamais grupu skaits?
Desmitciparu naturāls skaitlis dalās ar 9 999 999. Vai tas var dalīties arī ar 10 000 001 ?
Uz \(50\) kartiņām uzrakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(50\) ieskaitot (katrs skaitlis uz citas kartiņas). Rindā viena aiz otras atrodas \(2008\) rūtiņas. Kartiņas kaut kā uzliktas uz \(50\) rūtiņām (uz katras rūtiņas – ne vairāk kā viena kartiņa). Ja kādam \(n\), \(1 \leq n < 50\), kartiņai \(n\) tieši pa labi esošā rūtiņa ir brīva, tad kartiņu \(n+1\) atļauts pārcelt uz šo brīvo rūtiņu; to sauc par vienu gājienu. Pierādīt, ka nevar izdarīt vairāk par \(1250\) gājieniem.
Funkcija \(f(n)\) definēta visiem veseliem \(n\) un pieņem veselas vērtības. Visiem veseliem \(x\) un \(y\) pastāv vienādība \[f(f(x) + y) = x + f(y+2008).\] Atrast visas tādas funkcijas \(f\) un pierādīt, ka citu bez Jūsu atrastajām nav.
Dots, ka \(n\) – naturāls skaitlis. Noskaidrojiet:
(a) vai var gadīties, ka skaitlim \(n^2 - 1\) ir tieši \(10\) dažādi naturāli dalītāji?
(b) vai var gadīties, ka skaitlim \(n^2 - 4\) ir tieši \(10\) dažādi naturāli dalītāji, ja \(n\) – pāra skaitlis?
Kādiem naturāliem \(n\) skaitļu kopu var sadalīt divās daļās tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādi nosacījumi:
(a) katrs skaitlis nonāktu tieši vienā daļā,
(b) abās daļās būtu vienāds daudzums skaitļu,
(c) katras daļas visu skaitļu vidējais aritmētiskais arī piederētu šai daļai?
Vai eksistē tādi trīs naturāli skaitļi, kas visi lielāki par \(1\) un kam piemīt īpašība: katra skaitļa kvadrāts, pamazināts par \(1\), dalās ar katru no abiem pārējiem skaitļiem?
Tabula sastāv no \(3 \times 3\) rūtiņām. Rūtiņās ierakstīti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(9\) (katrā rūtiņā cits skaitlis). Skaitļu summas rindās un kolonnās visas ir dažādas. Kāds lielākais daudzums šo summu var būt pirmskaitļi?
ABC
#Paritāte #Pirmskaitļi #ProgresijasSumma #SummasPārkārtošana Nepāri kā pentomino “V”. \((5,6,4)\),\((9,8,2)\),\((7,3,1)\). Nevar būt \(p_1+p_2+p_3=45\).
Vairākiem rūķīšiem ir vienādi naudas daudzumi. Brīdi pa brīdim kāds no rūķīšiem paņem daļu savas naudas un sadala to pārējiem vienādās daļās. Pēc kāda laika izrādījās, ka vienam no rūķīšiem ir \(8\) dālderi, bet citam – \(25\) dālderi. Cik pavisam ir rūķīšu? (Dālderis ir vienīgā rūķīšiem pieejamā naudas vienība.)
ABC
#Dalāmība #Invariants Ja rūķu ir \(a\), pārdalot \(k\) dāld., starpība mainās par \((a-1)k+k = ak\). Ja beigu starp. ir \(17\), tad \(a=17\).
Profesors Cipariņš ar savu ārzemju kolēģi ieradās Ziemassvētku eglītes pasākumā, kurā piedalījās universitātes darbinieki, viņu draugi, ģimenes locekļi, paziņas utt. Norādot uz trim viesiem, Cipariņš piezīmēja: “Šo cilvēku vecumu reizinājums ir \(2450\), bet summa – divas reizes lielāka nekā Jūsu vecums.” Kolēģis atteica: “Es nezinu un nevaru noskaidrot, cik veci ir šie ļaudis.” Tad Cipariņš piebilda: “Es esmu vecāks par jebkuru citu šai eglītē.” Tagad kolēģis uzreiz pateica minēto \(3\) viesu vecumus. Cik gadu tai laikā bija Cipariņam un cik – viņa kolēģim? (Visus vecumus izsaka veselos gados.)
ABC
#DalītājuSkaits #GadījumuPārlase Kolēģa 1.atbildei atbilst \((5,10,49)\) vai \((7,7,50)\). Otrā P.C. piebilde neļauj tos atšķirt.
Naturāla skaitļa \(n\) pozitīvo dalītāju skaitu apzīmējam ar \(d(n)\). Piemēram, \(d(1)=1\); \(d(6)=4\) utt. Sauksim skaitli \(n\) par apaļīgu, ja tas dalās ar \(d(n)\).
(a) atrodiet piecus apaļīgus skaitļus,
(b) pierādiet, ka apaļīgu skaitļu ir bezgalīgi daudz.
Dots, ka \(p\) un \(q\) ir divi viens otram sekojoši nepāra pirmskaitļi (piemēram, \(13\) un \(17\)). Pierādīt: skaitli \(p+q\) var sadalīt triju tādu naturālu skaitļu reizinājumā, kas visi lielāki par \(1\) (starp šiem trim skaitļiem var būt arī vienādi).
Spēlē OP! piedalās \(n\) spēlētāji (\(n \geq 2\)). Spēle notiek vairākas dienas. Katru dienu viens spēlētājs uzvar, bet pārējie zaudē. Sakaņā ar noteikumiem \(i\)-tajā dienā (\(i = 1, 2, \ldots\)) uzvarētājs saņem \(i(n-1)\) punktus, bet katrs zaudētājs zaudē pa \(i\) punktiem. Spēles sākumā visiem ir pa \(0\) punktiem. Pēc kāda mazākā dienu skaita var gadīties, ka visiem atkal ir pa \(0\) punktiem?
Dots, ka \(a\) un \(b\) – naturāli skaitļi un skaitļa \(S = a^2 + ab + b^2\) pēdējais cipars ir \(0\). Kāds ir skaitļa \(S\) priekšpēdējais cipars?
Dots, ka \(n\) - naturāls pāra skaitlis. Apskatām reizinājumu \[R = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).\] (a) vai var būt, ka \(R\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?
(b) vai var būt, ka \(R\) ir kāda naturāla skaitļa kubs?
Uz galda atrodas \(n\) konfektes, \(n\) – naturāls skaitlis. Divi spēlētāji pamīšus ēd pa \(x^2\) konfektēm, kur \(x\) – naturāls skaitlis (\(x\) var mainīties no gājiena uz gājienu). Tas, kam nav ko ēst, zaudē. Pierādīt: ir bezgalīgi daudz tādu \(n\), ka, pareizi spēlējot, otrais spēlētājs var uzvarēt.
Uz tāfeles uzrakstīti pieci dažādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz \(100\). Par tiem zināms, ka
- pirmais ir \(7\);
- trešais ir par \(4\) lielāks nekā piektais;
- skaitlim, kuru iegūst, ceturto sareizinot ar piekto, visi cipari ir vienādi;
- pirmais un ceturtais summā dod pieckāršotu otro.
Atrodi visus šos skaitļus!
ABC
#GadījumuPārlase (a) \(p_1=7\), (b) \(p_5 \neq 11\), (d) \(p_4 \neq 11\), (c) \(p_4 p_5 = 3 \cdot 37\), (d) \(p_4 \neq 37\). Tātad \((7,2,41,3,37)\).
Ieraksti tabulas ar izmēriem \(4 \times 4\) rūtiņas katrā rūtiņā vienu naturālu skaitli tā, lai vienlaicīgi izpildītos šādas divas īpašības:
- visi ierakstītie skaitļi ir dažādi;
- jebkuru četru skaitļu, nekādi divi no kuriem neatrodas ne vienā rindā, nedz vienā kolonnā, summa ir \(2010\).
Pietiek parādīt vienu veidu, kā to var izdarīt.
ABC
#MaģiskaisKvadrāts #SummasPārkārtošana Saskaita 2 tabulas: \(((1,2,3,4),\ldots,(1,2,3,4))\) un \((0,\ldots,0),(4,\ldots,4),(996,\ldots,996),(1000,\ldots,1000)\).
Vairākiem bērniem visiem ir vienāds skaits konfekšu. Brīdi pa brīdim kāds no bērniem paņem daļu savu konfekšu un sadala to pārējiem vienādās daļās. Pēc kāda laika izrādījās, ka vienam no bērniem ir \(4\) konfektes, bet citam – \(23\) konfektes. Cik pavisam ir bērnu? (Konfektes netiek dalītas daļās, apēstas vai izmestas.)
ABC
#Dalāmība #Invariants Ja bērnu ir \(a\), pārdalot \(k\) konf., starpība mainās par \((a-1)k+k = ak\). Ja beigu starp. ir \(19\), tad \(a=19\).
Starp skaitļiem \[6\;\;1\;\;3\;\;4,\] nemainot to secību, ievieto aritmētisko darbību zīmes (“\(+\)”, “\(-\)”, “\(\ast\)”, “\(:\)”) un iekavas tā, lai iegūtās izteiksmes vērtība būtu (a) \(25\), (b) \(24\).
Vai to var izdarīt?
ABC
#GadījumuPārlase #SintaksesKoks (a) \((6 + 1)\ast 3 + 4 = 25\); (b) \(6 : (1 - 3:4)=24\).
Andris un Juris katrs izvēlas trīs secīgus naturālus skaitļus tā, ka visi seši skaitļi ir atšķirīgi. Katru Andra skaitli sareizināja ar katru Jura skaitli, ieguva deviņus reizinājumus. Pierādi, ka starp iegūtajiem deviņiem skaitļiem vismaz astoņi būs savā starpā atšķirīgi!
Algebriski iztulkots vārds “secīgi”
Ja iedomāti \((a-1,a,a+1)\) un \((b-1,b,b+1)\) tad 2 vienādi reizinājumi, ja \(b \pm 1 = 2a\) vai \(a \pm 1 = 2b\).
Naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(2N\) jāsadala \(N\) pāros tā, lai katra pāra skaitļu summa būtu pirmskaitlis, pie tam šīm \(N\) summām jābūt dažādām. Vai to iespējams izdarīt, ja
(a) \(N = 5\); (b) \(N = 10\)?
Naturāla skaitļa \(n\) pozitīvo dalītāju skaitu apzīmējam ar \(d(n)\). Piemēram, \(d(1)=1\); \(d(6)=4\) utt. Sauksim skaitli \(n\) par apaļīgu, ja tas dalās ar \(d(n)\).
(a) atrodi piecus apaļīgus pāra skaitļus,
(b) pierādi, ka apaļīgu pāra skaitļu ir bezgalīgi daudz.
\(2010 \times 2010\) rūtiņas lielā kvadrātā, sākot ar apakšējo kreiso rūtiņu, pēc kārtas tiek ierakstīti naturālie skaitļi kā parādīts zīmējumā (katrā rūtiņā ierakstīts viens skaitlis). Piemēram, skaitlis \(19\) ierakstīts ceturtajā rindā, trešajā kolonnā.
(a) Kurš skaitlis ierakstīts 20. rindā, 10. kolonnā?
(b) Kurā rindā un kurā kolonnā atrodas rūtiņa, kurā ierakstīts skaitlis \(2010\)?
Cik dažādos veidos skaitli \(2010\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.
Dotas trīs aritmētiskas progresijas:
(1) \(8, 19, 30, 41, 52, \ldots\)
(2) \(8, 21, 34, 47, 60, \ldots\)
(3) \(4, 21, 38, 55, 72, \ldots\)
(a) Atrodi mazāko skaitli, kas pieder visām trim dotajām virknēm! (b) Pierādi, ka ir bezgalīgi daudz tādu skaitļu, kas pieder visām trim dotajām virknēm!
Uz tāfeles uzrakstīts skaitlis \(2010\). Divi spēlētāji spēlē sekojošu spēli. Vienā gājienā jāizvēlas vienu no pašlaik uz tāfeles uzrakstītā skaitļa \(N\) dalītājiem \(d > 1\), jāatņem to no \(N\), jānodzēš no tāfeles \(N\) un tā vietā jāraksta iegūtā starpība \(N-d\). Gājienus izdara pēc kārtas. Zaudē tas, kurš iegūst \(0\). Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvarēs – tas, kurš sāk, vai tas, kurš izdara otro gājienu?
Atrodi visus tādus naturālus skaitļus \(n\), ka skaitļi \(n\), \(d(n)\) un \(d(d(n))\) veido dilstošu aritmētisku progresiju. (\(d(x)\) ir skaitļa \(x\) naturālo dalītāju skaits.)
Uz galda atrodas \(n\) cepumi, kur \(n\) – naturāls skaitlis. Divi spēlētāji pamīšus ēd pa \(x^3\) cepumiem, kur \(x\) – naturāls skaitlis (dažādiem gājieniem \(x\) var būt atšķirīgs). Tas, kam nav ko ēst, zaudē. Pierādi: ir bezgalīgi daudz tādu \(n\), ka, pareizi spēlējot, otrais spēlētājs uzvar!
Uz tāfeles augošā secībā uzrakstīti seši dažādi pirmskaitļi, kas nepārsniedz \(100\). Par tiem zināms, ka
- visu skaitļu pēdējie cipari ir atšķirīgi;
- sestais skaitlis ir par \(14\) lielāks nekā trešais;
- ceturtā skaitļa pirmais cipars ir vienāds ar otrā skaitļa pēdējo ciparu;
- piektā un sestā skaitļa pirmie cipari ir vienādi.
Atrodi visus šos skaitļus!
ABC
#GadījumuPārlase #Pirmskaitļi (a) \(p_1=2\),\(p_2=5\). (b),(d) \((p_3;p_6)=(53,67)\). (c) \(p_4=59\).
Atrodi naturālu skaitli, kuru, dalot ar \(2010\), atlikumā iegūst \(13\), bet, dalot ar \(2011\), atlikumā iegūst \(3\).
Aplūko progresiju ar d=2010
- Aritmētiska progresija \(2010k+13\) dos atlikumus \(13-k\), dalot ar \(2011\).
- Var ievietot \(k=10\).
Starp skaitļiem \[8\;\;3\;\;5\;\;2,\] nemainot to secību, ievieto aritmētisko darbību zīmes (“\(+\)”, “\(-\)”, “\(\ast\)”, “\(:\)”) un iekavas tā, lai iegūtās izteiksmes vērtība būtu (a) \(15\), (b) \(16\).
ABC
#GadījumuPārlase #SintaksesKoks (a) \(8 - 3 + 5 \ast 2 = 8 - (3 - 5 \ast 2) = 15\); (b) \(8 : (3 - 5:2) = 16\).
Leonards izvēlējās patvaļīgu trīsciparu skaitli, pareizināja to ar \(2\) un tam galā pierakstīja sākotnējo skaitli. Vai viņa jauniegūtais skaitlis noteikti dalās ar (a) \(17\); (b) \(23\)?
ABC
#Dalāmība #Decimālpieraksts Ja 3-cip. sk. ir \(\overline{abc}\), tad jaunais ir \(2001\overline{abc}\) dalās ar \(23\). Bet \(17 \nmid 2001\).
Jānis un Anna spēlē šādu spēli. Uz tāfeles ir uzrakstīts naturāls skaitlis. Spēlētāji pēc kārtas veic gājienu: no uzrakstītā skaitļa atņem kādu šī skaitļa ciparu (izņemot \(0\)), nodzēš uz tāfeles esošo skaitli un tā vietā uzraksta iegūto starpību. Uzvar tas, kurš pēc sava gājiena iegūst nulli.
Sākumā ir uzrakstīts skaitlis \(2011\), pirmo gājienu izdara Anna. Kurš no spēlētājiem, pareizi spēlējot, uzvarēs? Apraksti, kā uzvarētājam jārīkojas!
ABC
#Invariants #Spēles Pēc katra Annas gājiena skaitlim jādalās ar \(10\).
Atrodi visus naturālu skaitļu pārus \((x, y)\) tādus, ka \(x\neq y\) un \[\frac{1}{x^2 + 24} + \frac{1}{y^2 + 24} = \frac{2}{xy + 24}.\]
Dots vienādojums \(\# x^2 − \# x + \# = 0\). Divi rūķīši spēlē spēli – pirmais nosauc trīs dažādus skaitļus, bet otrais tos kaut kādā secībā saliek „\(\#\)” vietās. Vai pirmais rūķītis vienmēr var panākt, lai vienādojumam būtu vismaz viena racionāla sakne?
Kāds lielākais skaits pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu var būt ar īpašību, ka katrs no tiem ir izsakāms kā divu naturālu skaitļu kvadrātu starpība?
Cik dažādos veidos skaitli \(2011\) var izteikt kā vismaz divu pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu summu? Saskaitāmo secība nav svarīga.
Dotas trīs aritmētiskas progresijas:
(1) \(1, 15, 29, 43, 57, 71, \ldots\)
(2) \(2, 17, 32, 47, 62, 77, \ldots\)
(3) 3, 19, 35, 51, 67, 83, $
(a) Atrodi mazāko skaitli, kas pieder visām trim dotajām virknēm!
(b) Pierādi, ka ir bezgalīgi daudz tādu skaitļu, kas pieder visām trim dotajām virknēm!
Vai pa riņķa līniju var izvietot \(2011\) dažādus naturālus skaitļus tā, ka jebkuriem diviem blakus esošiem skaitļiem lielākā skaitļa attiecība pret mazāko ir pirmskaitlis?
Naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(9\) sadalīti trīs grupās pa trim skaitļiem un katrā grupā aprēķināta tajā ietilpstošo skaitļu summa. Vai var būt, ka
(a) visas summas ir pirmskaitļi?
(b) visas summas ir atšķirīgi pirmskaitļi?
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība \[ab(3a + 5b) = 1234567?\]
ABC
#Paritāte Nepāru reizinājums nozīmē, ka \(a,b\) ir nepāru. Bet tad \(3a+5b\) ir pāru, kas ir pretruna.
Starp skaitļiem \[4\;\;1\;\;5\;\;7,\] nemainot to secību, ievieto aritmētisko darbību zīmes (“\(+\)”, “\(-\)”, “\(\ast\)”, “\(:\)”) un iekavas tā, lai iegūtās izteiksmes vērtība būtu (a) \(13\), (b) \(14\).
ABC
#GadījumuPārlase #SintaksesKoks (a) \(4 \ast 1 \ast 5 - 7 = 13\); (b) \(4:(1-5:7) = 14\) bet arī \((4-1-5)\ast(-7)=14\).
Skolas matemātikas olimpiādē piedalījās ne vairāk kā \(60\) skolēnu. Vidējais punktu skaits, ko ieguva zēni, bija \(21,6\). Vidējais punktu skaits, ko ieguva meitenes, bija \(15\). Vidējais punktu skaits, ko ieguva visi skolēni, bija \(20\). Cik skolēnu piedalījās olimpiādē?
ABC
#MasuCentrs \(**MKD**\) Pleci \(1.6=|21.6-20|\) un \(5=|15-20|\) attiecas kā \(8\) un \(25\). Zēnu ir \(25\) un meiteņu \(8\).
Pa apli uzrakstīti \(11\) veseli skaitļi. Jebkuru trīs pēc kārtas ņemtu skaitļu summa dalās ar \(5\). Pierādi, ka visi uzrakstītie skaitļi dalās ar \(5\).
ABC
#DalīšanaArAtlikumu #PeriodiskaVirkne Atlikumi \((\operatorname{mod} 5)\) ik pēc \(3\) atkārtojas, tātad tie visi vienādi (un vienādi \(0\)).
Atrodi vienu skaitli, kuram ir tieši \(12\) veseli pozitīvi dalītāji.
Kvadrātvienādojuma \(x^2 − 507x + a = 0\) saknes ir \(p^2\) un \(q\), kur \(p\) un \(q\) ir pirmskaitļi. Aprēķini \(a\) skaitlisko vērtību.
Uz tāfeles uzrakstītas deviņas zvaigznītes \(\ast\;\ast\;\ast\;\ast\;\ast\;\ast\;\ast\;\ast\;\ast\;\). Jānis ieraksta kādas zvaigznītes vietā jebkuru ciparu no \(1\) līdz \(9\). Pēc tam Pēteris jebkuru divu citu zvaigznīšu vietā ieraksta divus ciparus (tie var arī atkārtoties). Pēc tam vēl divas reizes viņi atkārto šo darbību. Pēteris uzvar, ja iegūtais deviņciparu skaitlis dalās ar \(37\). Vai Pēteris vienmēr var uzvarēt?
Pierādi: ja \(p\) un \(14p^2+1\) ir pirmskaitļi, tad \(14p^2-1\) ir naturāla skaitļa kubs.
Secinājumu ķēdīte:
- Ja \(p\) nedalās ar \(3\), tad \(p^2\) atlikums, dalot ar \(3\), ir \(1\).
- Tad \(14p^2\) dod atlikumu \(2\), dalot ar \(3\), jo skaitli ar atlikumu \(2\) reizina ar skaitli ar atlikumu \(1\).
- Tad \(14p^2+1\) dod atlikumu \(0\), dalot ar \(3\). Tas nav pirmskaitlis.
Secinām, ka \(p=3\) (citi pirmskaitļi nedalās ar \(3\)). Tādēļ \(14p^2 +1 = 127\) un \(14p^2 - 1 = 125\), kas tiešām ir pilns kubs \(5^3\).
Pierādi, ka nav tāda naturāla skaitļa \(n\), ka skaitlis \(n^2 − 3n − 1\) dalās ar \(169\).
Skaitļi \(A\) un \(B\) ir divi dažādi \(7\)-ciparu skaitļi, kuri katrs satur visus ciparus no \(1\) līdz \(7\). Pierādi, ka \(A\) nedalās ar \(B\).
Naturālā divciparu skaitlī neviens no cipariem nav \(0\). Pierādīt, ka, dalot šo skaitli ar tā ciparu reizinājumu, dalījums ir vismaz \(\frac{11}{9}\).
ABC
\(\frac{10a+b}{ab}=\frac{10}{b}+\frac{1}{a}\) ir vismazākā, ja \(a=b=9\).
Pierādīt, ka skaitlis \(1234567891011\ldots{}175176\) (pēc kārtas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(176\)) nav naturāla skaitļa kvadrāts. (Skaitļa kvadrāts ir skaitļa reizinājums pašam ar sevi.)
1.risinājums (dalāmība ar 3)
- Minētajam skaitlim ciparu summa kongruenta pēc moduļa \(9\) ar \(1+\ldots+176\). (Decimālciparu pārvietojot, atlikums nemainās).
- Summējam aritmētisku progresiju: \(1+\ldots+176=(176\cdot 177)/2\) - dalās ar \(3\), bet ne ar \(9\).
- Pilns kvadrāts nevar saturēt pirmskaitli \(3\) nepāru pakāpē.
2.atrisinājums (dalāmība ar 2)
- Pilnu kvadrātu dalījums pirmreizinātājos nevar dalīties ar \(8\) un nedalīties ar \(16\) – saturēt pirmskaitli \(2\) nepāru pakāpē.
Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(36\) reizes.
Pirmā cipara nodalīšana no pārējā gabala
\(a\) - 1.cipars; \(a \cdot 10^k + b = 36b\); \(a \cdot 10^k = 35b\). Tad \(a = 7\), \(b=2\cdot 10^{k-1}\).
Doti četri dažādi cipari, neviens no kuriem nav \(0\). Visu divciparu skaitļu, kurus var izveidot no šiem cipariem, summa ir \(484\). Atrast dotos četrus ciparus.
No pirmajiem \(100\) naturālajiem skaitļiem izvēlēts \(51\) skaitlis. Pierādīt, ka no tiem var izvēlēties divus, no kuriem viens dalās ar otru.
Konstrukcija
Izrakstām ģeometriskas progresijas, kas sākas ar nepāru skaitļiem un \(q=2\):
\[(1,2,4,8,16,32,64),\;(3,6,12,24,48,96),\] \[(5,10,20,40,80),\ldots,(97),\;(99).\]
- Būs tieši \(50\) progresijas (dažās būs tikai pa vienam loceklim), jo līdz \(100\) ir tieši \(50\) nepāru skaitļi.
- Katrs skaitlis pieder tieši vienai progresijai, jo katram pāru skaitlim atbilst tieši viens nepāru skaitlis, kurš rodas, ja atkārtoti dala ar \(2\).
- Izvēloties \(k+1\) skaitļus, vismaz divi būs no vienas progresijas (Dirihlē princips).
Pretpiemērs
- Ja skaitļu ir tikai \(50\), tad līdzīgi secināt nevar.
- Var izvēlēties \(51,\ldots,100\) - no tiem neviens nedalās ar otru.
Pierādīt, ka nav tāda naturāla skaitļa \(n\), ka skaitlis \(n^2-3n-1\) ar \(169\).
Doti dažādi nepāra naturāli skaitļi \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Neviens no tiem nedalās ne ar vienu pirmskaitli, kas lielāks kā \(5\). Pierādīt, ka \[\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \ldots \frac{1}{a_n} < 2.\]
Pierādīt, ka neeksistē tādi naturāli skaitļi \(x, y, z\), ka izpildās vienādība \(6^x + 13^y = 29^z\).
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), kuriem izpildās vienādība \(a \cdot (3a + 5b) \cdot 7b = 7654321\).
ABC
#Paritāte Nepāru reizinājums nozīmē, ka \(a,b\) ir nepāru. Bet tad \(3a+5b\) ir pāru, kas ir pretruna.
Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas. Ir zināmi divās rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. zīm.). Kādam skaitlim jābūt rūtiņā, kas apzīmēta ar jautājuma zīmi? Atrodiet visas iespējamās vērtības un pamatojiet, ka citu nav!
ABC
Ja \(a_{22}=x\), tad summas ir \(3x\). Un \(a_{13}=2x-13\), \(a_{11}=x-11\), \(a_{33}=x+11\), \(a_{23}=2\).
Skaitli \(\frac{1}{13}\) pārveidoja par bezgalīgu decimāldaļu un tajā izsvītroja 2014. ciparu aiz komata. Kurš skaitlis lielāks – sākotnējais vai iegūtais?
ABC
#Decimālpieraksts #PeriodiskaVirkne \(1/13=0.(076923076923)\) (periods \(12\) cipari). \(2014\)-tais jeb \(10\)-tais cipars ir \(9\).
Atrast visus naturālos skaitļus, kas nepārsniedz \(1000000\) un kuri, nosvītrojot to pirmo ciparu, samazinās \(15\) reizes!
Pirmais cipars un viss pārējais
\(a\) - 1.cipars; \(a \cdot 10^k + b = 15b\); \(a \cdot 10^k = 14b\). Tad \(a = 7\), \(b=5\cdot 10^{k-1}\).
Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas. Augšējās rindas vidējā rūtiņā ierakstīts skaitlis \(24\) (skat. zīm.). Vai rūtiņā, kas apzīmēta ar jautājuma zīmi, var būt ierakstīts skaitlis (a) \(7\), (b) \(17\)?
ABC
#AlgebrisksPārveidojums #MaģiskaisKvadrāts Apz. \(a_{22}=x\), \(a_{31}=b\). Tad \(a_{13}=2x-b\), \(a_{11}=x+b-24\), \(a_{33}=x-b+24\), \(a_{23}=2b-24\). Pie \(b=7\), \(a_{23}<0\).
Doti četri dažādi cipari, neviens no tiem nav \(0\). Visu divciparu skaitļu, kurus var izveidot no šiem cipariem, summa ir \(1276\). Atrast dotos četrus ciparus!
Tabulas \(3 \times 3\) rūtiņās katrā rūtiņā jāieraksta pa vienam naturālam skaitlim tā, lai katrā rindā, katrā kolonnā un katrā diagonālē ierakstīto skaitļu summas būtu vienādas, bet visi tabulā ierakstītie skaitļi ir savā starpā atšķirīgi. Ir zināmi divās rūtiņās ierakstītie skaitļi (skat. zīm.). Kāds ir mazākais skaitlis, kas var būt ierakstīts tabulas centrālajā rūtiņā?
Doti septiņi dažādi naturāli skaitļi; katriem diviem no dotajiem skaitļiem aprēķināja to summu. Kāds lielākais skaits no šīm summām var būt pirmskaitļi?
Spriedumi ar paritāti
Uzdevuma lasīšana: Jānoskaidro lielākais skaits, kas vispār var būt pirmskaitļi. Nevis, teiksim, lielākais dažādu pirmskaitļu skaits, ko var šādi iegūt.
- Dažādu naturālu skaitļu summa nevar būt \(2\).
- Tātad, lai divu skaitļu summa būtu (nepāru) pirmskaitlis, viens no tiem ir pāru, otrs ir nepāru.
Cik no 7 ir pāru un cik nepāru skaitļu?
\[7=0+7=1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1=7+0\]
Lielākais teorētiski iespējamais \((n,p)\) pārīšu skaits ir tad, ja \(4\) no septiņiem skaitļiem ir nepāru un \(3\) ir pāru (vai otrādi):
\[4\cdot{}3=12\]
Divdaļīgi grafi
- Nepāru skaitļi veido kopu \(A\) ar \(4\) elementiem, pāru skaitļi veido kopu \(B\) ar \(3\) elementiem.
- Ir tikai \(4\cdot{}3\) pāri, kam ir cerība būt pirmskaitļiem. (Saskaitot \(p+p\) vai \(n+n\) pirmskaitli iegūt nevar.)
Definīcija: Ja grafā visas virsotnes var sadalīt divās nepārklājošās apakškopās \(A\) un \(B\) tā, ka jebkura grafa šķautne iet no virsotnes kopā \(A\) uz virsotni kopā \(B\), tad grafu sauc par divdaļīgu.
Apgalvojums: Ja divdaļīgā grafā apakškopās \(A\) un \(B\) ir attiecīgi \(a\) un \(b\) virsotnes, tad tajā ir ne vairāk kā \(a\cdot{}b\) šķautnes.
Atlikumi, dalot ar 3
- Izvēloties vismazākos nepāru un pāru skaitļus, tikai \(9\) no \(12\) teorētiski iespējamajiem ir pirmskaitļi (citas summas dalās ar \(9\) - apzīmētas ar raustītu līniju).
- Ja papildus prasa, lai visi \(7\) skaitļi dotu atlikumu \(1\) (vai, izņēmuma gadījumā, atlikumu \(0\)), dalot ar \(3\), var panākt, lai visas \(12\) summas būtu pirmskaitļi.
Skaitļu virknei \((a_i)\) visiem \(n>1\) ir spēkā sakarība \(a_1 + a_2 + \ldots + a_n = n^2 a_n\). Aprēķināt \(a_{50}\), ja zināms, ka \(a_1 = 1000\).
Doti \(99\) naturāli skaitļi. Zināms, ka nav tāda skaitļa, ar ko dalītos visi šie skaitļi, un ka jebkuru \(50\) skaitļu reizinājums dalās ar atlikušo \(49\) skaitļu reizinājumu. Pierādīt, ka visu \(99\) skaitļu reizinājums ir naturāla skaitļa kvadrāts.
Atrast visus pirmskaitļus \(p\), kuriem \(p^4 − 6\) arī ir pirmskaitlis!
- Atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(13\), pēdējie divi cipari ir \(13\) un kurš dalās ar \(13\).
- Vai var atrast tādu naturālu skaitli, kura ciparu summa ir \(11\), pēdējie divi cipari ir \(11\) un kurš dalās ar \(11\)?
Dalāmība aar 9 un 11
(a) \(117\) cip.summa \(9\), dalās ar \(13\). \(11713\) der.
(b) \(99k\) pāru/nepāru poz.cip.summa nevar būt \(9\).
Nosaki, vai izteiksmes \(\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} + \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}\) vērtība ir racionāls skaitlis!
ABC
#AlgebriskaIdentitāte #QĪpašības Kāpinot kvadrātā sanāk \(20\), bet \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) nav racionāls.
Atrast vienu naturālu skaitli, kas lielāks nekā \(2015\) un ko nevar izteikt kā naturāla skaitļa kvadrāta un pirmskaitļa summu.
ABC
#AlgebriskaIdentitāte #Nevienādība Ja \(N = n^2\) liels pilns kvadrāts, tad \(n^2 - a^2\) dalās reizinātājos \(>2\).
Pierādi, ka \(x^5 - 5x^3 + 4x\) dalās ar \(120\), ja \(x\) ir vesels skaitlis!
Atrast visus naturālos skaitļus, kas ir vienādi ar savu ciparu reizinājumu. (Par viencipara skaitļa ciparu reizinājumu sauc tā vienīgo ciparu.)
Nevienādību izmantošana
- Pārbaudot dažādus skaitļus var novērot, ka ciparu reizinājums allaž mazāks par pašu skaitli.
- Pamatojam to 2-ciparu un 3-ciparu skaitļiem \(\overline{ab}\) un \(\overline{abc}\)
\[a\cdot{}b < 10a \leq 10^1\cdot{}a + b = \overline{ab},\] \[a\cdot{}b\cdot{}c < 10^2\cdot{}a < 100a + 10b + c = \overline{abc}.\]
Skaitļa pirmo decimālciparu reizinot ar \(k\) turpmākajiem cipariem, iegūsim mazāku rezultātu nekā reizinot ar \(10^k\), jo katrs cipars ir mazāks par \(10\).
Aplūkojam visus deviņciparu skaitļus, kas nesatur \(0\) un kam visi cipari ir dažādi. Pierādīt, ka starp tiem pāra skaitļu ir tieši divas reizes mazāk nekā tādu, kas dalās ar \(3\), bet nedalās ar \(5\).
Naturālam skaitlim \(n\) ar \(M(n)\) apzīmēsim mazāko naturālo skaitli, kas beidzas ar \(n\) un kura ciparu summa ir \(n\). Piemēram, \(M(13)=913\). Pierādīt, ka ir bezgalīgi daudz tādu \(n\), ka \(M(n)\) dalās ar \(n\).
Atrast visus naturālu skaitļu trijniekus \((a,b,c)\), tādus, ka \(a \geq b \geq c \geq 2\) un \(ab-1\) dalās ar c, \(bc-1\) dalās ar \(a\), \(ac-1\) dalās ar \(b\).
Karlsons sev pusdienām nopirka \(8\) pīrādziņus un \(15\) magoņmaizītes, bet Brālītis – vienu pīrādziņu un vienu magoņmaizīti. Karlsons par savām pusdienām samaksāja tieši divus eiro (katra maizīte un pīrādziņš maksā veselu skaitu centu). Cik samaksāja Brālītis?
ABC
#Dalāmība #Nevienādība \(200-8p=15m\), t.i. \(m\) dalās ar \(8\). Un \(m\) nevar būt \(16\), citādi \(p<0\).
Aprēķini dotās izteiksmes vērtību! \[\frac{2000016 \cdot 1999984}{5^{12} \cdot 2^{13} - 128}\]
Algebrisks pārveidojums
\(\frac{4(10^6 - 8)(10^6 + 8)}{2(10^{12} -64)} = \frac{4}{2}=2\).
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(a\) un \(b\), ka \(ab(a+43b) = 434343\)?
ABC
#Paritāte Reizinājums ir nepāru, t.i. \(a,b\) ir nepāru. Bet tad \(a+43b\) ir pāru.
Zināms, ka skaitlis dalās ar \(2016\) un ka visi tā cipari ir dažādi. Kāds ir lielākais ciparu skaits, kas var būt šajā skaitlī?
ABC
#DalījumsPirmreizinātājos Visi \(10\) cipari: \(32 \mid 45312\). Ciparu summa dalās ar \(9\). Samaisa \(6,7,8,9,0\), lai dalās ar \(7\).
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x\), \(y\) un \(z\), ka \(x^3 − 2016xyz = 10\)?
Naturālu skaitļu virknes \(1; 2; 2; 4; 8; 32; 48; \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes 2016. loceklis?
Vai var atrast tādus veselus skaitļus \(x\), \(y\) un \(z\), ka \(x^3 − 2016xyz = 120\)?
- div.fta.proc
- nota.divrule.3_9.rem
- mod.congr.poly
- mod.eq.contradict - pretrunas modulis: atlikumi pēc 9
Aritmētiskās progresijas četri pēc kārtas ņemti locekļi ir veseli skaitļi \(A\), \(B\), \(C\) un \(D\). Pierādīt, ka \(A^2+2B^2+3C^2+4D^2\) var izteikt kā divu veselu skaitļu kvadrātu summu!
Vai var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\), \(y\) un \(z\), ka \(x^2 + y^2 + z^2 = \underbrace{1111 \ldots 1}_{2016}\)?
Pierādīt, ka vienādojumam \(10^x + 12^y = 34^z\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos!
Cik ir tādu naturālu divciparu skaitļu, kuriem ciparu reizinājums ir tieši divas reizes mazāks nekā pats skaitlis?
Vai var atrast tādu desmitciparu skaitli, kas ir vienāds ar visu savu ciparu reizinājumu?
Atrisināt naturālos skaitļos vienādojumu \(x^3 + (x+1)^3 = (x+3)^3 + 1\).
Pierādīt, ja no trim naturāliem skaitļiem \(n\); \(n+11\) un \(n+22\) divi ir pirmskaitļi, tad trešais skaitlis dalās ar \(6\).
- div.prop.prod
- seq.arithm.mod.all
- comb.full (gadījumus \(n=2,3\) aplūko atsevišķi)
Doti naturāli skaitļi \(k\) un \(n\), \(k \leq n\).
(a) Vai noteikti \(C_n^k\) dalās ar \(n\), ja \(k\) un \(n\) ir savstarpēji pirmskaitļi?
(b) Vai \(k\) un \(n\) noteikti ir savstarpēji pirmskaitļi, ja \(C_n^k\) dalās ar \(n\)?
Piezīme. Ar \(C_n^k\) apzīmēts kombināciju skaits no \(n\) elementiem pa \(k\) elementiem.
- Doti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(11\). Izvēlieties deviņus no tiem un ierakstiet tos \(3 \times 3\) rūtiņu tabulā tā, lai katrā rindā, katrā kolonā un abās galvenajās diagonālēs ierakstīto skaitļu summa dalās ar \(7\).
- Vai to pašu ir iespējams izdarīt, ja doti naturāli skaitļi no \(1\) līdz \(10\)?
Atrast tādu veselu skaitli \(n\), lai vienādība \[(n - 2021)(n - 2018)(n - 2017)(n - 2016) = 2016\] būtu patiesa!
Naturālu skaitļu virknes \(1; 8; 8; 64; 192; 432; \ldots\) katrs loceklis, sākot ar trešo, ir vienāds ar divu iepriekšējo locekļu nenulles ciparu reizinājumu. Kāds ir šīs virknes 2018. loceklis?
Atrast lielāko naturālo skaitli, kas dalās ar \(7\), kura ciparu summa ir \(100\) un kuram neviens cipars nav \(0\).
Pierādīt, ja \(x\) - naturāls skaitlis, tad \(x^8 - x^2\) dalās ar \(252\).
Pārbaudām dalāmību ar 252 reizinātājiem
Apgalvojums: Lai naturāls skaitlis \(N\) dalītos ar \(252=2^2\cdot{}3^2\cdot{}7^1\) ir nepieciešami un pietiekami, lai \(N\) dalītos ar pirmreizinātāju augstākajām pakāpēm: \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\) un \(7^1 = 7\).
- \(x^8 - x^2\) dalās ar \(4\):
- Ja \(x\) ir pāru skaitlis, tad \(x^2\) dalās ar \(4\).
- Ja \(x\) ir nepāru skaitlis, tad \((x^4-x)(x^4+x)\) ir divu pāru skaitļu reizinājums. Tātad arī dalās ar \(4\).
- \(x^8 - x^2\) dalās ar \(9\):
- Ja \(x\) dalās ar \(3\), tad \(x^2\) dalās ar \(9\).
- Ja \(x = 3k+1\), tad \(x^3 - 1 = (3k+1)^3 - 1\) dalās ar \(9\) (pārbauda, atverot iekavas)
- Ja \(x = 3k-1\), tad \(x^3 + 1 = (3k-1)^3 + 1\) dalās ar \(9\) (pārbauda, atverot iekavas)
Dalāmība ar 7
Pamatosim, ka \(x^8 - x^2 = x^2(x^6-1)\) dalās arī ar \(7\).
- Ja \(x\) dalās ar \(7\), tad \(x^2\) dalās ar \(7\).
- Ja \(x\) nedalās ar \(7\), varam izmantot Mazo Fermā teorēmu pie \(p=7\).
Mazā Fermā teorēma: Ja \(p\) ir pirmskaitlis un \(a\) nedalās ar \(p\), tad \(a^{p-1}\) dod atlikumu \(1\), dalot ar \(p\).
Citiem vārdiem, \(a^{p-1}-1\) dalās ar \(p\).
Ievietojot \(p-7\), iegūstam, ka \(a^6 - 1\) dalās ar \(7\), ja vien \(a\) nedalās ar \(7\).
Empīriska teorēmas pārbaude, ja p=7
Mazo Fermā teorēmu atcerēties ir derīgi, bet var pamatot citādi.
Pārbaudīsim, ka \(x^6\) dod atlikumu \(1\), dalot ar \(7\) visiem \(x=1,2,3,4,5,6\). (Lielākām \(x\) vērtībām \(x\) var aizstāt ar tā atlikumu, polinoma \(x^6\) vērtības atlikums no tā nemainīsies).
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^3\) | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 |
| Atlikums \(x^3\;\mbox{mod}\;7\) | 1 | 1 | 6 | 1 | 6 | 6 |
| \((x^3\;\mbox{mod}\;7)^2\) | 1 | 1 | 36 | 1 | 36 | 36 |
| Atlikums \(x^6\;\mbox{mod}\;7\) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Polinoma vērtību atlikumi
Apgalvojums: Ja \(P(x)\) ir polinoms ar veseliem koeficientiem, ja \(x_1, x_2, m\) ir naturāli skaitļi, pie tam \(x_1\) un \(x_2\) dod vienādus atlikumus, dalot ar \(m\) , tad arī polinomu vērtības \(P(x_1)\) un \(P(x_2)\) dod vienādus atlikumus, dalot ar \(m\).
Definīcija: Apgalvojumu, ka \(x_1\) un \(x_2\) dod vienādus atlikumus, dalot ar \(m\) pieraksta šādi: \(x_1 \equiv x_2\;(\mbox{mod}\,m)\). To lasa: \(x_1\) un \(x_2\) ir kongruenti pēc moduļa \(m\).
Šajos apzīmējumos katram polinomam \(P(x)\) var secināt:
\[ x_1 \equiv x_2\;(\mbox{mod}\,m)\;\;\Rightarrow\;\;P(x_1) \equiv P(x_2)\;(\mbox{mod}\,m)\]
Pierādīt, ka visām naturālām \(n\) vērtībām izpildās \[1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \ldots + n)^2.\]
Vai eksistē tādi naturāli skaitļi \(m\) un \(n\), ka \(m^2 - n^2 = 2mn\)?
Naturāls skaitlis \(B\) ir iegūts no naturāla skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Zināms, ka \(A + B = 10^{45}\). Pierādīt, ka gan \(A\), gan \(B\) dalās ar \(5\).
Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^n\) iespējams izteikt kā septiņu naturālu skaitļu reizinājumu tā, lai to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^n\) iespējams izteikt kā sešu naturālu skaitļu reizinājumu tā, ka neviens no tiem nav mazāks kā \(10\) un to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
Ja naturāla sešciparu skaitļa visus nepāra ciparus aizvietotu ar \(7\), iegūtu skaitli, kas ir par \(5998\) lielāks nekā sākotnējais skaitlis. Savukārt, ja sākotnējā skaitlī ar \(7\) aizvietotu visus pāra ciparus, tad iegūtais skaitlis būtu par \(500290\) lielāks nekā sākotnējais. Atrast doto sešciparu skaitli!
Vai eksistē tāds kvadrātvienādojums ar veseliem koeficientiem, kuram ir sakne \[\left( \sqrt{2020} − 2\sqrt{2019} + \sqrt{2018} \right) \left( \sqrt{2020} + \sqrt{2019} \right) \times\] \[\times \left( \sqrt{2019} + \sqrt{2018} \right) \left( \sqrt{2020} + \sqrt{2018} \right)?\]
Pierādīt, ka visām naturālām \(n\) vērtībām ir spēkā vienādība \[6 + 24 + 60 + \cdots + n(n + 1)(n + 2) =\] \[=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}.\]
Kādām naturālām \(n\) vērtībām izteiksme \(n^2 + n + 19\) ir kāda naturāla skaitļa kvadrāts?
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(216\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:
- nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
- nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.
Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs – pirmais vai otrais – vienmēr var uzvarēt?
Zināms, ka vairāku naturālu skaitļu summa ir (a) \(2019\), (b) \(2020\).
Kāds ir lielākais iespējamais šo skaitļu reizinājums?
Tikai galīgs skaits summu vienādas ar 2019
- Starp visām summām, kas vienādas ar \(2019\) eksistē tā, kuras reizinājums ir vislielākais (jo šo summu ir tikai galīgs skaits).
- Optimālā summa nevar saturēt skaitļus \(1\) (tos varētu kādam pieskaitīt), vai reizinātājus, kas lielāki vai vienādi par \(5\) (jo tos varētu izteikt \(2+3\) vai \(3+3\) utt., kam vēl lielāks reizinājums).
- Optimālā summa nevar saturēt vairāk kā divus skaitļus \(2\), jo \(2\cdot{} 2 \cdot{} 2 < 3 \cdot 3\).
Dots reāls skaitlis x un naturāls skaitlis \(n\). Zināms, ka gan \(x^2-nx\), gan \(x^3-nx\) ir racionāli skaitļi. Pierādīt, ka arī \(x\) ir racionāls skaitlis!
Divi spēlētāji pamīšus raksta uz tāfeles skaitļa \(144\) naturālos dalītājus. Katrā gājienā jāievēro šādi noteikumi:
- nedrīkst atkārtoti rakstīt jau uzrakstītu dalītāju;
- nedrīkst rakstīt dalītāju, kurš ir tieši \(2\) vai \(3\) reizes lielāks vai mazāks nekā kāds jau uzrakstītais dalītājs.
Zaudē tas spēlētājs, kurš nevar izdarīt gājienu. Kurš spēlētājs – pirmais vai otrais – vienmēr var uzvarēt?
Skaitļa 144 dalītāji
- Visi dalītāji veido taisnstūrainu struktūru, kur reizināšana ar \(2\) ir virzīšanās pa vienu asi, bet reizināšana ar \(3\) - pa otru.
- Šajā tainstūrī ir simetrijas centrs: \(12 = \sqrt{144}\).
- Pirmais spēlētājs sāk ar \(12\), pēc tam uz katru dalītāju \(d\) atbild ar \(144/d\).
Sporta nometnē ir \(100\) skolēni. Ar \(N\) apzīmējam, cik veidos šos \(100\) skolēnus var sadalīt \(50\) pāros (pāru secība un arī skolēnu secība pārī nav svarīga). Ar kādu lielāko trijnieka pakāpi dalās \(N\)?
Variantu saskaitīšana
- Visjaunākajam (visīsākajam u.c.) skolēnam pāri var atrast \(99\) veidos.
- No atlikušajiem visjaunākajam skolēnam pāri var atrast \(97\) veidos.
- Pēdējam skolēnam paliek tieši \(1\) pāris.
- Pilnu variantu skaitu izsaka reizinājums: \[N = 99\cdot{}97\cdot{}95\cdot\ldots\cdot{}3\cdot{}1.\]
p-valuācija reizinājumam
Līdzīgi Ležandra formulai varam atrast augstāko \(3\) pakāpi, ar kuru dalās \(N\), grupējot reizinātājus atkarībā no pakāpes, ar kuru tie dalās.
- \((99-3)/6 + 1 = 17\) reizinātāji dalās ar \(3\): \[3 \cdot 9 \cdot 15 \cdot 21 \cdot 27 \cdot \ldots \cdot 99\]
- \((99-9)/18 + 1 = 6\) reizinātāji dalās ar \(3^2\): \[9 \cdot 27 \cdot 45 \cdot 63 \cdot 81 \cdot 99\]
- \((81 - 27)/54 +1 = 2\) reizinātāji dalās ar \(3^3\) (\(27, 81\)).
- Viens reizinātājs dalās ar \(3^4\) (\(81\))